2022届高考数学一轮复习-期望与方差专题训练

期望与方差

一、选择题

1．某校学生会为了了解本校高一1 000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：

以下四个结论中正确的是(　　)

A．表中m的数值为10

B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人

C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人

D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1 000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25

2．在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)

A．39　　　　　　　　 B．35

C．15 D．11

3．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是(　　)

A．30 B．40

C．42 D．48

4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：

由表中数据得线性回归方程^(y)＝－2x＋60，则a的值为(　　)

A．48 B．62

C．64 D．68

5．如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说确的是(　　)

A．该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高

B．该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势

C．该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元

D．该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元

6．将甲、乙两个篮球队各5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是(　　)

A．甲队平均得分高于乙队的平均得分

B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数

C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差

D．甲、乙两队得分的极差相等

二、填空题

7．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．

8．已知一组数据x₁，x₂，…，x_n的方差为2，若数据ax₁＋b，ax₂＋b，…，ax_n＋b(a>0)的方差为8，则a的值为________．

9．给出下列四个命题：

①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，如果7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；

②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；

③若一组数据a，0，1，2，3的平均数为1，则其标准差为2；

④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为^(y)＝^(a)＋^(b)x，其中^(a)＝2，－(x)＝1，－(y)＝3，则^(b)＝1.

其中真命题有________(填序号)．

三、解答题

10． “一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：

若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．

(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；

(2)根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？

附：K²＝b＋d(ad－bc2)(n为样本容量)

11．中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．

为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入－(x)(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．

(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ²)，其中μ近似为年平均收入－(x)，σ²近似为样本方差s²，经计算得s²＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：

(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

(ii)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

附：参考数据与公式

≈2.63，若X～N(μ，σ²)，则

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

12．某学校高三年级共有4个班，其中实验班和普通班各2个，且各班学生人数大致相当．在高三第一次数学统一测试(满分100分)成绩揭晓后，教师对这4个班的数学成绩进行了统计分析，其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标．根据该校的实际情况，规定其具体含义如下：难度＝100(4个班平均分)，区分度＝100(实验班平均分－普通班平均分).

(1)现从这4个班中各随机抽取5名学生，根据这20名学生的数学成绩，绘制茎叶图如下：

请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度；

(2)为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据，得到下表：

①用公式r＝y2计算区分度y与难度x之间的相关系数r(精确到0.001)；

②判断y与x之间相关关系的强与弱，并说明是否适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系．

参考数据：6x_iy_i＝0.713 4, y2≈0.009 2.

答案：

1.解析：选C．A中的m值应为12；B中应为380人；C是正确的；D中的分段间隔应为20，故选C．

2.解析：选D．由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D．

3.解析：选A．由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生占60%，所以x＋90(x＋42)＝100(60)，解得x＝30，故选A．

4.解析：选C．由题意，得－(x)＝4(17＋14＋10－1)＝10，－(y)＝4(24＋34＋38＋a)＝4(96＋a).样本点的中心(－(x)，－(y))在回归直线^(y)＝－2x＋60上，代入线性回归方程可得4(96＋a)＝－20＋60，解得a＝64，故选C．

5.解析：选D．第1个月利润为3－2.5＝0.5(万元)，第2个月利润为3.5－2.8＝0.7(万元)，第3个月利润为3.8－3＝0.8(万元)，第4个月利润为4－3.5＝0.5(万元)，第5个月利润为5－4＝1(万元)，其中五月份利润最高，为1万元，所以A错误．第4个月利润相比第3个月在下降，所以B错误．前五个月的利润的中位数为0.7万元，所以C错误，前五个月的总利润为0.5＋0.7＋0.8＋0.5＋1＝3.5(万元)，所以D正确．

6.解析：选C．由题中茎叶图得，甲队的平均得分－(x)_甲＝5(26＋28＋29＋31＋31)＝29，乙队的平均得分－(x)_乙＝5(28＋29＋30＋31＋32)＝30，－(x)_甲<－(x)_乙，选项A不正确；甲队得分的中位数为29，乙队得分的中位数为30，甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数，选项B不正确；甲队得分的方差s甲(2)＝5(1)×[(26－29)²＋(28－29)²＋(29－29)²＋(31－29)²＋(31－29)²]＝5(18)，乙队得分的方差s乙(2)＝5(1)×[(28－30)²＋(29－30)²＋(30－30)²＋(31－30)²＋(32－30)²]＝2，s甲(2)>s乙(2)，选项C正确；甲队得分的极差为31－26＝5，乙队得分的极差为32－28＝4，两者不相等，选项D不正确．故选C．

7.解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列为5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，中间两个为14与16，故中位数为2(14＋16)＝15.

答案：15

8.解析：根据方差的性质可知，a²×2＝8，故a＝2.

答案：2

9．解析：在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为6(1)(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样本的平均数为1，所以a＋0＋1＋2＋3＝5，解得a＝－1，故样本的方差为5(1)[(－1－1)²＋(0－1)²＋(1－1)²＋(2－1)²＋(3－1)²]＝2，标准差为，故③是假命题；在④中，回归直线方程为^(y)＝^(b)x＋2，又回归直线过点(－(x)，－(y))，把(1，3)代入回归直线方程^(y)＝^(b)x＋2，得^(b)＝1，故④是真命题．

答案：②④

10.解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市“热烈参与者”的人数约为20 000×200(40)＝4 000.

(2)2×2列联表为

K²＝40×160×140×60(35×55－105×52)≈7.292>6.635，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．

11.解：(1)－(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．

(2)由题意，X～N(17.40，6.92)．

(i)P(X>μ－σ)≈2(1)＋2(0.682 7)≈0.841 4，

μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，

即最低年收入大约为14.77千元．

(ii)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋2(0.954 5)≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(10³，p)，其中p＝0.977 3，于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝C^k₁₀₃p^k(1－p)10³－k，

从而由ξ＝k－1(ξ＝k)＝1－p(1 001－k×p)>1，得k<1 001p，

由ξ＝k＋1(ξ＝k)＝p(1－p)>1，得k>1 001p－1，

而1 001p＝978.277 3，

所以，977.277 3<k<978.277 3，

由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.

12.解：(1)由茎叶图知，实验班这10人的数学总成绩为860分，普通班这10人的数学总成绩为700分，

故这20人的数学平均成绩为20(860＋700)＝78(分)，由此估计这4个班的平均分为78分，

所以难度＝100(78)＝0.78.

由10(860)＝86估计实验班的平均分为86分，由10(700)＝70估计普通班的平均分为70分，

所以区分度＝100(86－70)＝0.16.

(2)①由于n (x_i－－(x))(y_i－－(y))

＝n (x_iy_i－－(y)x_i－－(x)y_i＋－(x)－(y))

＝nx_iy_i－－(y)nx_i－－(x)ny_i＋n－(x)　－(y)

＝nx_iy_i－n－(x)　－(y)－n－(x)　－(y)＋n－(x)　－(y)

＝nx_iy_i－n－(x)　－(y)，

且6x_iy_i＝0.713 4，y2

≈0.009 2，

6－(x)　－(y)＝6×0.74×0.16＝0.710 4，

所以r＝y2

＝y2≈0.009 2(0.713 4－0.710 4)≈0.326.

②由于r≈0.326∈[0.30，0.75)，故两者之间相关性非常一般，不适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系，即使用线性回归模型来拟合，效果也不理想．