学习方法 2021-08-13 461
第一章 证明(二)
一、等腰三角形
1、定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质:1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(“三线合一”)
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)
4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
3、判定:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
特殊的等腰三角形
等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,又叫做正三角形。
(注意:若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形)。
2、 性质 :⑴等边三角形的内角都相等,且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定:⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等
1、 直角三角形全等的判定 有5种:
(1)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)
(2)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)
(3)、三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
(4)、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)
(5)、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)
2、在直角三角形中,如有一个内角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半
3、在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
4垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
性质:线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
5、三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等,交点为三角形的外心。
6、角平分线上的点到角两边的距离相等。
7、在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的 。
9、三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
10、三角形三条中线交于一点,交点为三角形的重心。
11、三角形三条高线交于一点,交点为三角形的垂心。
三、平行四边的定义
1、定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,
2、性质:(1)平行四边形的对边相等,(2)对角相等,(3)对角线互相平分。
3、判定:(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(5)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
(6)一组对边平行,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
两个假命题:(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。
(2)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形。
四、矩形
1、定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
2、性质:(1)具有平行四边形的性质,(2)对角线相等,(3)四个角都是直角。
(4)矩形是轴对称图形,有两条对称轴。
3、判定:(1)有三个角是直角的四边形是矩形。
(2) 对角线相等的平行四边形是矩形。
五、菱形
1、定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质:(1)具有平行四边形的性质,(2)四条边都相等,(3)两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。(4) 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
3、判定:(1)四条边都相等的四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
六、 正方形
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
3、判定:(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)对角线相等的菱形是正方形;
(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形。
七、梯形 定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
八、 等腰梯形 1、定义: 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
九、三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段。
性质:平行于第三边,并且等于第三边的一半。
十、梯形的中位线
定义:连接梯形两腰中点的线段。
性质:平行于两底,并且等于两底和的一半。
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