2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理

高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面学大教育网为大家带来2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系

极值的定义：

(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)

(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。

极值的性质：

(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;

(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值;

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f(x0)是极大、极小值的方法：

若x0满足，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。

求函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x);

(2)求方程f′(x)=0的根;

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：

极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：

①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b(因为在端点不可导).如图

②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图.

③若fx)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.

④若函数f(x)在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有

限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，

函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值;

(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值。

用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值;

②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点)，所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f(x)在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值;

③当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。

生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，

不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去;

(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值;

(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.

利用导数解决生活中的优化问题：

(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型(函数关系、方程或不等式)，运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中.

(2)利用导数求f(x)在闭区间[a,时间管理，b]上的最大值和最小值的步骤，

①求函数y =f(x)在(a，b)上的极值;

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点.

2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理学大教育网为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。